ANALISIS DE FOURIER.

Los fenómenos periódicos han fascinado por mucho tiempo a la humanidad. Nuestros ancestros conocían las recurrencias de las fases de la Luna y de ciertos planetas, las mareas de los lagos y los océanos y los ciclos del agua. El cálculo y la ley de la gravitación de Isaac Newton permitieron explicar la periocidad de las mareas, pero Joseph Fourier y sus sucesores quienes desarrollaron el análisis de Fourier que ha tenido aplicaciones mas profundas en el estudio de los fenómenos naturales y en el análisis de señales y datos.

Toda señal periódica, sin importar cuan complicada parezca, puede ser reconstruida a partir de sinusoides cuyas frecuencias son múltiplos enteros de una frecuencia fundamental, eligiendo las amplitudes y fases adecuadas.

Transformada continua de Fourier:

dt

t: tiempo

f: frecuencia

x (t): señal de prueba

Fasor de sondeo. (Kernel Function)

X (f): espectro en función de la frecuencia.

Una serie de Fourier es la presentación de una función como una serie de constantes multiplicadas por funciones se y/o cosenos de diferentes frecuencias. Una serie de Fourier nos sirve para poder representar cualquier señal sumando únicamente senos y cosenos que deben de tener una frecuencia múltiplo de la primera. Fourier no pudo representar matemáticamente, quien lo hizo fue Laplace, años mas tarde.

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función contínua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

Aplicaciones de las series de Fourier:

Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.

Análisis en el comportamiento armónico de una señal. Reforzamiento de señales.

Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.

Una función periódica se puede definir como una función para la cual

f(t)= f (t+T)

Para todos los valores de t. la constante mínima T satisface la relación, se llama periodo de la función mediante repetición de f(t)= f (t+T) se obtiene:

f(t)= f(t+nT)= 0, ±1, ±2, ±3…